Nilai dan Vektor Eigen
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
>> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Jika 𝐴 adalah sebuah matriks 𝑛 × 𝑛, maka sebuah vektor taknol 𝒙 pada ℝ𝑛 disebut vektor
eigen (vektor karakteristik) dari 𝐴 jika 𝐴𝒙 adalah sebuah kelipatan skalar dari 𝒙; jelasnya:
𝐴𝒙 = 𝜆𝒙
untuk skalar sebarang 𝜆. Skalar 𝜆 ini disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari 𝐴, dan 𝑥
disebut sebagai vektor eigen (vektor karakteristik) dari 𝐴 yang terkait dengan 𝜆.
Sifat-sifat Nilai Eigen dan Vektor Eigen
- Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji sifat-sifat nilai eigen dan vektor eigen matriks atas aljabar maxplus. Langkah-langkah yang dilakukan adalah dengan mengkaji eksistensi nilai eigen dan vector eigen matriks atas aljabar maxplus. Selanjutnya diselidiki sifat-sifat nilai eigen dan vector eigen, meliputi ketunggalan dari nilai eigen, dan mengkaji tentang sifat nilai eigen dan vector eigen dari matriks transpose. Hasil penelitian menunjukkan bahwa setiap matriks persegi atas aljabar maxplus selalu mempunyai nilai eigen. Suatu mariks persegi A atas aljabar mxplus akan mempunyai nilai eigen tunggal jika A irredusibel. Jika merupakan nilai eigen A, maka jug merupakan nilai eigen dari AT . Tetapi sifat ini tidak berlaku untuk vektor eigennya. Kata kunci: aljabar maxplus, nilai eigen, vektor eigen, matriks transpose
A. Nilai-nilai Eigen dalam Suatu Matriks
Apabila sebuah matriks A yang berukuran n x n dan sebuah vektor x, maka biasanya secara umum tidak ada hubungan geometris antara vektor x dengan vektor Ax . Namun, ada beberapa vektor x tak nol sehingga x dan Axmerupakan penggandaan satu sama lainnya. Vektor-vektor tersebut muncul secara alami dalam telaah getaran, sistem elektris, genetik, reaksi kimia, mekanika kuantum, tekanan mekanis, ekonomi dan geometri.
Sekarang kita akan meninjau ulang beberapa konsep yang telah kita diskusikan dalam pembelajaran yang lalu untuk dikembangkan lebih lanjut.
Definisi :Misalkan A adalah matriks n x n, maka vektor x yang tidak nol di Rn disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu
Ax = λx
untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x disebut suatu vektor eigen (eigen vector) dari a yang berpadanan dengan λ.
B. Persamaan Karakteristik
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka kita perlu memperhatikan kembali definisi vektor eigen dan nilai eigen, yaitu Ax = λx. Bentuk ini dapat kita tulis sebagai berikut:
Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari persamaan (1) ini. Menurut teorema dalam bahasan sebelumnya, maka persamaan (1) akan mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika:
det (λ I – A) = 0
Definisi : Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.
Dari pemahaman definisi di atas, jelas bahwa jika A adalah matriks n x n, maka persamaan karakteristik dari matriks A mempunyai derajat n dengan bentuk
det (λ I – A) = f(λ) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an - 1xn - 1 + anxn = 0
Menurut teorema dasar aljabar kita dapatkan bahwa persamaan karakteristik tersebut mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda (Ingat metode Horner dan persamaan pangkat tinggi). Jadi, suatu matriks yang berukuran n x n paling banyak mempunyai n-nilai eigen yang berbeda. Setelah kita memperhatikan uraian di atas, tentunya para pembaca berharap untuk meninjau ulang sehingga kita mendapatkan nilai-nilai eigen dari matriks 2 x 2 dengan menyelesaikan persamaan karakteristiknya.
Contoh :
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks
Penyelesaian:
Polinom karakteristik dari matriks Q adalah
= λ2 - 3λ + 2
dan persamaan karakteristik dari matriks Q adalah
λ2 - 3λ + 2 = 0
Penyelesaian dari persamaan ini adalah λ1 = 1 dan λ2 = 2.
Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2
Contoh :
Diketahui untuk
Carilah:
a) Persamaan karakteristik dari matriks A
b) Nilai-nilai eigen dari matriks A
Penyelesaian:
a) Persamaan karakteristik dari matriks A adalah
(4 – λ) (1 – λ)2 + 2(1 – λ) = 0
(4 – λ) (1 – 2λ + λ2) +(2 – 2λ) = 0
λ3 - 6λ2 + 11 λ - 6 = 0
b) Untuk mencari nilai-nilai eigen dari matriks A harus mencari akar-akar atau nilai-nilai λ yang memenuhi persamaan pangkat tiga:
λ3 - 6λ2 + 11 λ - 6 = 0 ……………………....................…. (2)
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu terlebih dahulu memahami persamaan pangkat tinggi dengan akar-akar bulat. Untuk itu tentunya kita masih ingat bahwa secara sederhana dapat memanfaatkan kenyataan tentang semua penyelesaian bilangan bulat (jika himpunan penyelesaian ≠ 0) dari persamaan polinom dengan koefisien-koefisien bilangan bulat.
- harus atau pasti merupakan pembagi dari suku konstanta a0. Jadi, penyelesaian-penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2) adalah pembagipembagi dari 6, yaitu 1, 2, 3, dan 6. Selanjutnya substitusikan nilai-nilai ini berturut-turut pada persamaan (2) sehingga kita dapatkan akar-akarnya, dan tentunya memerlukan bantuan teorema sisa atau metode horner untuk persamaan pangkat tinggi. Dalam hal ini λ = 1 memenuhi persamaan (2), sebab 13 – 6 . 12 +11 . 1 – 6 = 0.
- Sebagai akibatnya (λ – 1) haruslah merupakan factor dari ruas kiri persamaan (2). Dengan bantuan teorema sisa, yaitu membagi persamaan (2) oleh (x – 1) kita dapatkan dua nilai λ lainnya, yaitu λ2 = 2 dan λ3 = 3, sehingga akar dari persamaan (2), yaitu λ1 = 1, λ2 = 2, dan λ3 = 3 adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
- Untuk menyelesaikan persamaan (2) dapat pula dilakukan dengan bantuan metode Horner, dengan langkah pertama sema seperti di atas yaitu sampai mendapatkan λ1 = 1 dan langkah berikutnya sebagai berikut:
(λ – 1) (λ2 - 5λ + 6) = 0
(λ – 1) (λ – 2) (λ - 3) = 0
λ1 = 1, λ2 = 2, dan λ3 = 3
adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
Contoh : Carilah nilai-nilai eigen dari matriks
Penyelesaian:
Seperti kedua contoh di atas, maka persamaan karakteristik dari matrik T adalah
Det (A - λ I) = det
(nilai-nilai eigennya adalah bilangan imajiner).
Karena nilai-nilai eigen dari matriks T adalah bilangan imajiner, sedangkan menurut definisi λ adalah skalar atau bilangan real. Maka matriks T tidak mempunyai nilai eigen.
Catatan:
Dari contoh kita mendapatkan nilai-nilai eigen kompleks dari matriks yang real. Hal ini akan membawa kita untuk meninjau kemungkinan ruang-ruang vektor kompleks, yaitu ruang-ruang vektor dengan skalar-skalarnya nilai kompleks. Diskusi kita untuk ruang-ruang vektor kompleks dengan nilai-nilai eigen kompleks akan dijumpai dalam kesempatan lain. Dalam kesempatan sekarang akan dibatasi pada contoh-contoh dengan nilai eigen yang real.
Sekarang kita perhatikan teorema berikut yang merupakan ikhtisar dari hasil-hasil yang telah diperoleh melalui diskusi materi pembelajaran di atas.
Teorema 1.1. Jika A adalah suatu matriks n x n dan λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen
(a) λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
(b) Sistem persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non
trivial).
(c) Ada vektor x yang tidak nol dalam
sedemikian sehingga Ax = λx.
(d) λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0
Bukti:
Kita akan memperlihatkan bahwa (a), (b), (c), dan (d) ekuivalen satu sama lainnya dengan membuktikan urutan implikasi (a)
(b)
(c) (d)
Berikut Adalah contoh soal beserta penyelesaiannya:
Apabila sebuah matriks A yang berukuran n x n dan sebuah vektor x, maka biasanya secara umum tidak ada hubungan geometris antara vektor x dengan vektor Ax . Namun, ada beberapa vektor x tak nol sehingga x dan Axmerupakan penggandaan satu sama lainnya. Vektor-vektor tersebut muncul secara alami dalam telaah getaran, sistem elektris, genetik, reaksi kimia, mekanika kuantum, tekanan mekanis, ekonomi dan geometri.
Sekarang kita akan meninjau ulang beberapa konsep yang telah kita diskusikan dalam pembelajaran yang lalu untuk dikembangkan lebih lanjut.
Definisi :Misalkan A adalah matriks n x n, maka vektor x yang tidak nol di Rn disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu
Ax = λx
untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x disebut suatu vektor eigen (eigen vector) dari a yang berpadanan dengan λ.
B. Persamaan Karakteristik
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka kita perlu memperhatikan kembali definisi vektor eigen dan nilai eigen, yaitu Ax = λx. Bentuk ini dapat kita tulis sebagai berikut:
Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari persamaan (1) ini. Menurut teorema dalam bahasan sebelumnya, maka persamaan (1) akan mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika:
det (λ I – A) = 0
Definisi : Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.
Dari pemahaman definisi di atas, jelas bahwa jika A adalah matriks n x n, maka persamaan karakteristik dari matriks A mempunyai derajat n dengan bentuk
det (λ I – A) = f(λ) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an - 1xn - 1 + anxn = 0
Menurut teorema dasar aljabar kita dapatkan bahwa persamaan karakteristik tersebut mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda (Ingat metode Horner dan persamaan pangkat tinggi). Jadi, suatu matriks yang berukuran n x n paling banyak mempunyai n-nilai eigen yang berbeda. Setelah kita memperhatikan uraian di atas, tentunya para pembaca berharap untuk meninjau ulang sehingga kita mendapatkan nilai-nilai eigen dari matriks 2 x 2 dengan menyelesaikan persamaan karakteristiknya.
Contoh :
Carilah nilai-nilai eigen dari matriks
Penyelesaian:
Polinom karakteristik dari matriks Q adalah
= λ2 - 3λ + 2
dan persamaan karakteristik dari matriks Q adalah
λ2 - 3λ + 2 = 0
Penyelesaian dari persamaan ini adalah λ1 = 1 dan λ2 = 2.
Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2
Contoh :
Diketahui untuk
Carilah:
a) Persamaan karakteristik dari matriks A
b) Nilai-nilai eigen dari matriks A
Penyelesaian:
a) Persamaan karakteristik dari matriks A adalah
(4 – λ) (1 – λ)2 + 2(1 – λ) = 0
(4 – λ) (1 – 2λ + λ2) +(2 – 2λ) = 0
λ3 - 6λ2 + 11 λ - 6 = 0
b) Untuk mencari nilai-nilai eigen dari matriks A harus mencari akar-akar atau nilai-nilai λ yang memenuhi persamaan pangkat tiga:
λ3 - 6λ2 + 11 λ - 6 = 0 ……………………....................…. (2)
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu terlebih dahulu memahami persamaan pangkat tinggi dengan akar-akar bulat. Untuk itu tentunya kita masih ingat bahwa secara sederhana dapat memanfaatkan kenyataan tentang semua penyelesaian bilangan bulat (jika himpunan penyelesaian ≠ 0) dari persamaan polinom dengan koefisien-koefisien bilangan bulat.
- harus atau pasti merupakan pembagi dari suku konstanta a0. Jadi, penyelesaian-penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2) adalah pembagipembagi dari 6, yaitu 1, 2, 3, dan 6. Selanjutnya substitusikan nilai-nilai ini berturut-turut pada persamaan (2) sehingga kita dapatkan akar-akarnya, dan tentunya memerlukan bantuan teorema sisa atau metode horner untuk persamaan pangkat tinggi. Dalam hal ini λ = 1 memenuhi persamaan (2), sebab 13 – 6 . 12 +11 . 1 – 6 = 0.
- Sebagai akibatnya (λ – 1) haruslah merupakan factor dari ruas kiri persamaan (2). Dengan bantuan teorema sisa, yaitu membagi persamaan (2) oleh (x – 1) kita dapatkan dua nilai λ lainnya, yaitu λ2 = 2 dan λ3 = 3, sehingga akar dari persamaan (2), yaitu λ1 = 1, λ2 = 2, dan λ3 = 3 adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
- Untuk menyelesaikan persamaan (2) dapat pula dilakukan dengan bantuan metode Horner, dengan langkah pertama sema seperti di atas yaitu sampai mendapatkan λ1 = 1 dan langkah berikutnya sebagai berikut:
(λ – 1) (λ2 - 5λ + 6) = 0
(λ – 1) (λ – 2) (λ - 3) = 0
λ1 = 1, λ2 = 2, dan λ3 = 3
adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
Contoh : Carilah nilai-nilai eigen dari matriks
Penyelesaian:
Seperti kedua contoh di atas, maka persamaan karakteristik dari matrik T adalah
Det (A - λ I) = det
(nilai-nilai eigennya adalah bilangan imajiner).
Karena nilai-nilai eigen dari matriks T adalah bilangan imajiner, sedangkan menurut definisi λ adalah skalar atau bilangan real. Maka matriks T tidak mempunyai nilai eigen.
Catatan:
Dari contoh kita mendapatkan nilai-nilai eigen kompleks dari matriks yang real. Hal ini akan membawa kita untuk meninjau kemungkinan ruang-ruang vektor kompleks, yaitu ruang-ruang vektor dengan skalar-skalarnya nilai kompleks. Diskusi kita untuk ruang-ruang vektor kompleks dengan nilai-nilai eigen kompleks akan dijumpai dalam kesempatan lain. Dalam kesempatan sekarang akan dibatasi pada contoh-contoh dengan nilai eigen yang real.
Sekarang kita perhatikan teorema berikut yang merupakan ikhtisar dari hasil-hasil yang telah diperoleh melalui diskusi materi pembelajaran di atas.
Teorema 1.1. Jika A adalah suatu matriks n x n dan λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen
(a) λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
(b) Sistem persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non
trivial).
(c) Ada vektor x yang tidak nol dalam
sedemikian sehingga Ax = λx.(d) λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0
Bukti:
Kita akan memperlihatkan bahwa (a), (b), (c), dan (d) ekuivalen satu sama lainnya dengan membuktikan urutan implikasi (a)
(b) (c) (d)Berikut Adalah contoh soal beserta penyelesaiannya:
 |
Komentar
Posting Komentar