Sistem Persamaan Linear

SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)

Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel. Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangan linear, umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya. Namun dalam teknik listrik sering ditemukan variabel lebih sedikit dari persamaan. Karena beberapa dari persamaan mempunyai sifat ketergantungan maka jawaban masih mungkin untuk diperoleh

1.      Pengertian Sistem Persamaan Linear

Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variable x1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk : a1x1 + a 2x 2 + … + a n x n = b, dengan a 1, a 2, …, a n dan b adalah konstanta real.

Contoh :

Persamaan berikut merupakan persamaan linear :

a. x + 3y = 7

b. y = 5x + 3z + 1

Persamaan berikut bukan persamaan linear :

c. x2 + 3y = 5

d. y – sin x = 0

Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam n variable x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variable x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai :

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

am1x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm,

dengan aij dan bi (1 § i § m, 1 § j § n) adalah konstanta-konstanta real.

Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variable x1, x2, …, xn  dengan Am x n = (aij ), Xn x 1 = ( ) x j , dan Bm x 1 = ( ) bi . Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka sistem persamaan linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak disebut SPL non homogen.

 Contoh :

a. SPL non homogen berikut

x1 – x2 + x3 = 2

2x1 – x2 – x3 = 4

b. SPL homogen berikut

x1 + x2 = 0

x1 – x2 = 0

2.      Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sebuah penyelesaian persamaan linear a1x1 + a2 x2 + … + anxn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua penyelesaian tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-bilangan x1, x2, …, xn yang memenuhi semua persamaan dalam SPL.

Contoh :

Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem

          x1 + 2x 2 = 5

2x1 + 3x 2 = 8

karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8.

Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut karena tidak memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) ≠ 8.

Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL

x1 – x2 + x3 = 2

2x1 – x2 – x3 = 4

karena 1(2) – 1(0) + 1(0) = 2

2(2) + 1(0) – 1(0) = 4

Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), …. juga merupakan penyelesaian SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Jika α adalah sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut (2, α,α) adalah penyelesaian SPL tersebut. Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini dapat ditunjukkan pada sistem

x1 + x2 = 2

x1 – x2 = 1

x1 = 4

Pada persamaan ketiga x1= 4, sehingga jika disubstitusikan ke persamaan pertama

dan kedua, maka x2 harus memenuhi :

4 + x2 = 2

4 – x2 = 1

Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka SPL ini tidak mempunyai penyelesaian. Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten (inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian disebut konsisten (consistent).

Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3 yaitu :

1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal)

2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga penyelesaian)

3. SPL tidak mempunyai penyelesaian

SPL homogen AX = 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten) yaitu X = 0, yang dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain, (yang tidak nol) maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.

Contoh :

2x1 + x 2 – 3 x 3 = 0

x 1 + 2 x 2 = 0

x 2 + x 3 = 0

SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu :

x 1 = 2 x 3

x 2 = – x 3

Jika x3=t, dengan t bilangan real, maka x1 = 2t, x2 = –t sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini menunjukkan SPL di atas mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t.

3.      Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = c
dimana = x dan y adalah variabel

4.       Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah

ax + by = c
px + qy = d
dimana: x dan y disebut variabel
a, b, p dan q disebut koefisien
c dan r disebut konstanta

5.      Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Cara Grafik

Langkah-langkahnya sebagai berikut :

1. Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat.
2. Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari system persamaan yang dimaksud.

1. Metode Eliminasi

Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau sebaliknya. Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu variabel sama maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.

Contoh:
Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3
Penyelesaian:
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan
x – y = 3 dikalikan 3.
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6
x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9
5x = 15
x = 15/5
x = 3
Langkah II (eliminasi variabel x)
Seperti langkah I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan
x – y = 3 dikalikan 2.
2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6
x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6
5y = 0
y = 0/5
y = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.

1. Metode Substitusi

Metode Substitusi Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, terlebih dahulu kita n yatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan (menggantikan) variabel itu dalam persamaan yang lainnya.
Contoh:
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x +3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut:
2x + 3y = 6
<=> 2 (y + 3) + 3y = 6
<=>     2y + 6 + 3y = 6
<=>             5y + 6 = 6
<=>       5y + 6 – 6 = 6 – 6
<=>                   5y = 0
<=>                     y = 0
Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:
x = y + 3
<=> x = 0 + 3
<=> x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(3,0)}

1. Metode Gabungan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode gabungan, kita menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.

Contoh:
Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !
Penyelesaian:
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh.
2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12
-15y = -10
y = (-10)/(-15)
y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
x + 5y = 6
<=> x + 5 (2/3) = 6
<=>   x + 10/15 = 6
<=>                 x = 6 – 10/15
<=>                 x = 22/3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(2 2/3,2/3)}

1. Cara Determinan

Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Untuk  menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan :

ax + by = c

px + qy = r

diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy.

Dengan :       D  =  = aq – bp

Dx =  = cq – br

Dy =  = ar – cp

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :

x =  dan y =

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

dengan cara determinan !

Jawab:

D  =  = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7

Dx =  = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14

Dy =  = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7

x =  =  = 2

y =  =  = -1

Jadi HP = {(2, -1)}

6.      Pengertian Persamaan Linear Tiga Variabel

Persamaan linear tiga variabel adalah persamaan yang mengandung tiga variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear tiga variabel adalah:

ax + by + cz = p
dimana = x, y dan z adalah variabel

7.      Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah tiga persamaan linear tiga variabel yang mempunyai hubungan diantara ketiganya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by + cz = u
px + qy + rz = t
dimana: x, y dan z disebut variabel
a, b,c, p, q, dan r disebut koefisien
u dan t disebut konstanta

8.      Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, antara lain :

1. Metode eliminasi

Metode ini bekerja dengan care mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.
Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunya koefisien yang sama (baik positif maupun negative) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat mejumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).

x